Topologie pour la Licence Mathématique à l' Université de la Polynésie française
Cours enseigné en semestre impair 2019/2020 par Alexander D. Rahm.
Curriculum sur les espaces vectoriels normés :
- Espaces métriques. Ouverts, fermés, voisinages. Adhérence, intérieur, frontière.
- Suites. Suites convergentes. Suites de Cauchy.
- Applications continues et uniformément continues.
- Espaces compacts.
- Espaces connexes.
- Espaces complets. Théorème du point fixe.
Regardez le chapitre sur les espaces vectoriels normés par exemple dans le livre suivant disponible éléctroniquement par la bibiliothèque de l'UPF :
Mathématiques tout-en-un : MP-MP* de C. Deschamps, F. Moulin, A. Warusfel, N. Cleirec, Y. Gentric, F. Lussier et al.
Je vous encourage fortement de regarder le film "Chaos" de Jos Leys, Étienne Ghys and Aurélien Alvarez, une dizaine de minutes duquel a été présenté dans le cours. À cette fin, visitez sa page web pour le télécharger ou pour le regarder en ligne.
Compacité ou non de l'univers physique :
Regardez d'abord la vidéo ici pour une argumentation pourquoi on conjecture une expansion de l'univers,
et ensuite une vidéo sur le modèle du "big bang" qui a été construit en conséquence de cette conjecture. Ce modèle peut être réalisé par un univers compact ou non compact - voir l'article de Jean-Pierre Luminet.
Les complexes cellulaires :
Exercice à faire jusqu'au lundi 28 octobre :
Regardez le plan de ville suivant (public domain picture by B. Giuşcă) :
Déterminez s'il existe ou non une promenade dans la ville dépictée permettant, à partir d'un point de départ au choix, de passer une et une seule fois par chaque pont, et de revenir à son point de départ, étant entendu qu'on ne peut traverser la rivière qu'en passant sur les ponts.
Voici une stratégie pour résoudre le problème :
1) Dessinez un graphe avec sommets les composantes connexes par chemins qui ne traversent pas la rivière (même pas en se servant d'un pont). Tout ce qui peu être joint à pied sans traverser la rivière est alors représenté par un seul sommet. Vous aurez 4 sommets.
Pour chaque pont, dessinez une arête qui relie deux sommets. Vous aurez 7 arêtes.
2) Supposez que la promenade recherchée existe. On peut alors, à partir de la promenade, ordonner les sept arêtes du graphe de façon que deux arêtes consécutives par rapport à notre ordre soient adjacentes dans le graphe (en considérant que la dernière et la première arête sont consécutives, puisqu'il y a retour au point de départ).
3) Trouvez une propriété du graphe qui empêche de trouver un tel ordre des arêtes.
Exercices sur le complexe de Vietoris-Rips
Je vous encourage fortement de regarder le film "Dimensions" de Jos Leys, Étienne Ghys and Aurélien Alvarez, pour améliorer votre intuition sur les complexes cellulaires. À cette fin, visitez sa page web pour le télécharger ou pour le regarder en ligne.
Pour référence sur les complexes cellulaires, vous pourrez regarder dans le livre Algebraic Topology par Allen Hatcher, et pour approfondir vos connaissances de topologie, je vous récommande le site Analysis Situs d'un collectif de mathématiciens sous le pseudonyme Henri Paul de Saint-Gervais.
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