Topologie pour la Licence Mathématique à l' Université de la Polynésie française
Cours enseigné en semestre impair 2020/2021 par Alexander D. Rahm.
Curriculum sur la topologie analytique élémentaire :
- Espaces métriques. Ouverts, fermés, voisinages. Adhérence, intérieur, frontière.
- Suites. Suites convergentes. Suites de Cauchy.
- Applications continues et uniformément continues.
- Espaces compacts.
- Espaces connexes.
- Espaces complets. Théorème du point fixe.
Regardez le chapitre sur les espaces vectoriels normés par exemple dans le livre suivant disponible éléctroniquement par la bibiliothèque de l'UPF :
Mathématiques tout-en-un : MP-MP* de C. Deschamps, F. Moulin, A. Warusfel, N. Cleirec, Y. Gentric, F. Lussier et al.
Je vous encourage fortement de regarder le film "Chaos" de Jos Leys, Étienne Ghys and Aurélien Alvarez, une dizaine de minutes duquel a été présenté dans le cours. À cette fin, visitez sa page web pour le télécharger ou pour le regarder en ligne.
Compacité ou non de l'univers physique :
Regardez d'abord la vidéo ici pour une argumentation pourquoi on conjecture une expansion de l'univers,
et ensuite une vidéo sur le modèle du "big bang" qui a été construit en conséquence de cette conjecture. Ce modèle peut être réalisé par un univers compact ou non compact - voir l'article de Jean-Pierre Luminet.
Topologie algébrique élémentaire :
Pas tous les arbres sont des arbres ! Voici quelques exemples d'arbres dans le sens botanique qui ne sont pas des arbres dans le sens mathémathique : Un arbre est un graphe connexe sans circuit.
Donc sur un arbre mathémathique, si on (par exemple, une fourmi) va le long de branches sans faire demi-tour, on ne pourra jamais arriver au point de départ. Ceci n'est pas vrai pour les arbres botaniques suivants :
Arbre 1
Détail de l'arbre 1
Arbre 2
Détail de l'arbre 2
Vous pourrez trouver ces arbres anti-mathémathiques quelques minutes à pied du campus de l' Université de la Polynésie française.
Exercices sur le complexe de Vietoris-Rips
Je vous encourage fortement de regarder le film "Dimensions" de Jos Leys, Étienne Ghys and Aurélien Alvarez, pour améliorer votre intuition sur les complexes cellulaires. À cette fin, visitez sa page web pour le télécharger ou pour le regarder en ligne.
Pour référence sur les complexes cellulaires, vous pourrez regarder dans le livre Algebraic Topology par Allen Hatcher, et pour approfondir vos connaissances de topologie, je vous récommande le site Analysis Situs d'un collectif de mathématiciens sous le pseudonyme Henri Paul de Saint-Gervais.
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